鞋偏大半码是多少厘米 半码是多少厘米( 六 )
如果你接着考虑更复杂的概念 ， 比如类之间的关系 ， 那么逻辑概念的种类就会增加 。在这里你将平生第一次遇到许多重要的和有趣的逻辑关系 ， 学过逻辑基础的人对这些关系了如指掌 。我指这样一些东西：类之间的包含、两个类的不相交性、两个类的重叠以及许多其他关系；所有这些关系都是通常意义上的逻辑关系的例子 ， 在我所说的意义上它们也都是逻辑的 。由此你便有了关于逻辑概念是什么的想法 。我自己仅仅考虑了4种最简单的类型 ， 只在这些类型的范围内讨论了逻辑概念的例子 。作为这个讨论的结论 ， 我想转向另一个问题 ， 在听我的说明时 ， 你们中有些人大概已经有了这个问题 。
4、 数学是否是逻辑的一部分？这是常常被问及的问题 。在这里我们仅考虑该问题的一个方面 ， 即数学概念是否都是逻辑概念 ， 而不涉及比如数学真命题是否都是逻辑真命题这样的问题 ， 它超出了我们讨论的范围 。众所周知 ， 全部数学可以在集合论⑨或类理论中构造 ， 因此 ， 上述问题可以归约为如下问题：集合论的概念是否都是逻辑概念？我们又知道 ， 所有通常的集合论概念可以用一个概念来定义⑩ ， 即归属概念或属于关系的概念 ， 因此我们的问题的最后一种形式是：属于关系是否是我所建议的意义上的逻辑概念？答案似乎令人失望 。我们可以这样来发展集合论、属于关系的理论 ， 使得这个问题的答案是肯定的 ， 或者我们也可以这样来进行 ， 使得这个问题的答案是否定的 。
所以答案是：“如你所愿！”你们都知道 ， 由于悖论的出现 ， 主要是本世纪之交在集合论中出现的罗素悖论 ， 必须重新对集合论基础进行彻底的研究 。这项研究至今绝没有完成的一个结果是说 ， 在集合论经历惨痛重击之后 ， 两种构造从集合论中挽救出来的东西的方法发展起来了 。一种方法本质上是《数学原理》的方法、怀特海和罗素的方法——类型方法 。第二种方法是策梅洛、冯?诺依曼和贝奈斯等人的方法——一阶方法 。现在让我们从这两种方法的观点来看我们的问题 。(11)
使用《数学原理》的方法 ， 集合论就是逻辑的一部分 。该方法可以大致描述如下：我们有一个基础论域 ， 即个体域 ， 然后我们从这个个体域构造一些概念 ， 比如类、关系、类的类、关系的类等等 。然而只有基本论域、个体域才是根本的 。一个变换定义在这个个体域上 ， 而这个变换又诱导出由个体、个体之间的关系等等构成的类上的变换 。更明确地说 ， 我们考虑最低类型的全类 ， 一个变换以这个全类为定义域和值域 。然后这个变换也诱导出一个变换 ， 其定义域和值域是第二类型的全类 ， 即个体的类的类 。当我们讨论“世界”到自身的变换时 ， 我们仅仅指基本论域、个体域的变换(这个论域可以解释为物理对象的论域 ， 尽管《数学原理》中没有任何东西强迫我们接受这样一个解释) 。使用这个方法 ， 显然 ， 属于关系确实是一个逻辑概念 。它出现于几个类型中 ， 因为个体是个体的类的元素 ， 个体的类又是个体的类的类的元素等等 。恰恰根据诱导变换的定义 ， 属于关系对世界到自身的每个变化都保持不变 。
另一方面 ， 考虑构造集合论的第二种方法 ， 这里我们没有类型分层 ， 只有一个论域 ， 个体之间的属于关系是不加定义的关系、一个初始概念 。现在 ， 显然这个属于关系不是逻辑概念 ， 因为正如我前面提到的那样 ， 个体之间只有4个逻辑关系：全域关系、空关系、恒等关系和多样性关系 。如果个体和集合被看作属于同一个论域 ， 那么属于关系并不是这些关系中的任何一种关系；因此 ， 在这第二种设想之下 ， 数学概念不是逻辑概念 。
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