量子力学之路开普勒第二定律证明( 二 ) _云知道

牛顿万有引力定律

这是一个很好的公式，但它缺乏坐标信息和方向。我们可以把牛顿的万有引力定律写成

其中F_21是第一个物体对第二个物体的作用力，G是常量，m_1和m_2是两个物体的质量，s_1和s_2是两个物体的位置，|s_1- s_2|是两个物体之间的距离。从数学上讲，s_1- s_2表示从第二个物体的位置到第一个物体的矢量，矢量的大小用绝对值表示。这个表达式看起来很奇怪，因为分母是距离的3次方。但是分子式中的s_1- s_2也是距离单位。对于作用在一个物体上的总力，我们可以把每一个物体对第一个物体施加的力加起来。

推导开普勒定律用牛顿力学和牛顿万有引力定律来推导开普勒定律。要做到这一点，我们需要找出运动方程，这是一组描述物体如何作为时间的函数运动的微分方程。在牛顿力学中，要找运动方程需要
找出所有作用在物体上的力，求出坐标系中的加速度，把第一步中的力写成系统中每个物体的位置和速度的函数，让置步骤2和步骤3的结果相等，匹配基向量的系数。这样，你以得到每个物体的三个微分方程（如果考虑到力矩，还可以得到一些额外的方程）。
步骤1：寻找力
让我们从太阳系中的任意一个天体开始。根据牛顿万有引力定律，有

如果代入一些数字，会发现可以忽略除太阳以外的所有项。例如，太阳对地球施加的力是月球对地球施加的力的177倍。木星对土星施加的力，是除太阳以外的任何两个物体之间最强的力，它只占土星和太阳之间力的0.5%左右。
只要考虑太阳对任意物体施加的力

根据牛顿第二定律，有

假设物体的质量是恒定的

初步的简化
至此，我们已经知道了运动方程，但还可以做一些简化。首先，注意到太阳比太阳系中任何其他物体的质量都大得多。根据牛顿第三定律，尽管两个物体受到的力是相同的，但太阳的移动要比其它物体小得多。这样，我们可以将坐标系统的原点设置在太阳的中心，这意味着太阳的位置是零矢量：

如果用笛卡尔基向量写出物体的位置，有

角动量
我们要让其中一个坐标为零。假设z = 0 。根据上面的方程，物体在z方向上不会受到任何力，因此也不会有加速度。如果z方向的速度也是0，那么z将保持为0 。

我们总是可以选择坐标轴，使z方向上的位置和速度总是为零（让z轴垂直于初始速度和初始位置）。为了做到这一点，我们使用向量积（外积、叉积），得到一个垂直于另外两个三维向量的三维向量。两个向量的向量积的长度与这两个向量的长度以及它们之间夹角的正弦有关。
如果我们取物体的位置矢量和速度矢量的向量积，然后把结果乘以质量，就得到了角动量，它有类似于动量的性质，但是是围绕着一个点旋转而不是平移。我们稍后会看到，开普勒第二定律是角动量守恒的结果。现在，我们要用它来定义z基向量。