这两个定义是等价的，但可以有不同的解释（这种分解使得求矩阵的幂非常方便） 。第二个定义 ， A=PDP-1，告诉我们A如何被分解，与此同时，第一个定义，P-1AP=D ， 是告诉我们A可以被对角化 。它告诉我们，有可能将标准基（由单位矩阵给出）与特征向量对齐（align） 。这是由特征向量的正交性决定的，这在性质2中显示 。
这个 "将标准基与特征向量对齐 "听起来非常抽象 。我们需要思考这个问题：矩阵变换对单位基做了什么？
由基α = {v_1，… ， v_n}组成的矩阵将一个向量x从标准基变换到由基α构成的坐标系，我们用Aα表示这个矩阵 。因此，在对角化的过程中（P-1AP=D），P将一个向量从标准基送入特征向量，A对其进行缩放，然后P?1将该向量送回标准基 。从向量的角度来看，坐标系与标准基对齐 。
这种对齐方式如图1.16所示 ， 本例中使用的矩阵为：
式1.17其中V是一个列向量长度为1的矩阵，每一个都对应于对角线矩阵中的特征值 。至于计算，我们可以让Matlab中的eig来完成 。
这个性质直接遵循谱定理（ spectral theorem）：
如果A是厄米特矩阵 ， 存在一个由A的特征向量组成的V的正态基，每个特征向量都是实数 。
该定理直接指出了将一个对称矩阵对角化的方法 。为了直接证明这个性质，我们可以使用矩阵大?。ㄎ龋┑墓槟煞?。。
正定性这些性质什么时候有用？甚至在正式研究矩阵之前 ， 它们已经被用于解决线性方程组很长时间了 。把矩阵看成是运算子，线性方程的信息就储存在这些运算子中 ， 矩阵可以用来研究函数的行为 。
除了对称性之外，矩阵还可以有一个更好的性质就是正定性 。如果一个对称矩阵是正定的，它的所有特征值都是正的 。如果它的所有特征值都是非负的，那么它就是一个半正定矩阵 。对于一个正定矩阵，很明显要求它是对称的，因为性质1，因为只有当一个数字是实数时，问它是正数还是负数或有多大才有意义 。
特征值、特征向量和函数行为
这方面的一个很好的应用是海赛矩阵（Hessian matrix） ， 我们将以此为例来证明使用矩阵来分析函数行为 。当我们试图找到一个局部极值时，发现海赛矩阵是正定的将非常有用 。海赛矩阵是一个由实数函数的二阶偏微分组成的矩阵 。形式上 ， 海赛矩阵被定义为：
我们称H(x)为f的海赛矩阵，它是一个n乘n的矩阵 。它与以下内容相同：
这对函数的行为有什么影响？我们来看看一个超级简单的例子 。考虑一下函数：
海赛矩阵的计算方法如下：
式2.3由于它是一个对角矩阵，并且迹（对角线上的元素之和）等于特征向量之和 ， 我们可以立即看到其中一个特征值是2，另一个是-2 。它们对应于特征向量v? = [1, 0]?和v? = [0, 1]? 。这个矩阵是对称的 ， 但不是正定的 。因此，在整个?2上没有局部极值，我们只能在x=0 ， y=0点上找到一个鞍点 。这意味着在特征值为正的v_1方向上，函数增加，而在特征值为负的v_2方向上 ， 函数减少 。该函数的图像如下所示:
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