但，彭加莱却认为数学是自由直觉，是人的本能 。不管是空间是代数系统，在布尔巴基学派看来都是结构，《数学原本》将“数学是对结构的研究”这一观点发展到极致 。李发现实数即是空间又是代数系统，于是将空间的推广—流形和代数系统—群结合一起研究这就是李群 。
什么是数学的原理？
不同时期、不同地区的数学家对于数学原理的看法不尽相同，以下是我所知道的，供题主和各位网友参考：早在苏美尔和古埃及时期，人们就学会了算术，后来又因为农作、建筑、历法等的需要 出现了 几何 。算术是基础，几何建立在算术之上 。直到古希腊前期，大家普遍认为，数学就是对自然数（不包括0）的运用 。毕达哥拉斯的 《比例论》，将 万物皆数 推向极致 。
但，很快 西帕索斯 就发现了 √2 这个不可公度量，史称第一次数学危机 。后来欧多克斯用 几何量 代替自然数，修复了 《比例论》，但这导致几何代替算术成为了数学基础，古希腊数学家也将注意力转向了几何，他们最终的研究成果被 欧几里得 整理在 《几何原本》中 。同样是古希腊，因哲学的需要，亚里士多德《形而上学》引入了 形式逻辑 。
当然这时 逻辑 和 数学 还没直接关系 。同一时期的中国数学家，同样也对数学进行了 大量研究，成果记录在 《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》等 著作中 。和古希腊数学追求 理论证明 不同 中国数学 讲究的是 计算应用，即，数学的本质就是 计算 。随着时间的推移，中国数学 阴阳（正负） 的思想 传到了 古印度，古印度数学家又加入了 空（零）的概念，从而发明了现在的 阿拉伯数字，并将数字扩充到整个实数 。
阿拉伯人，花剌子模 结合古希腊和古印度算术，引入未知数，创立的 代数，并确立了代数的研究对象之一 方程 。时间到了文艺复兴时期 。阿拉伯数学的传入欧洲，激活了欧洲人研究数学热情 。笛卡尔利用 坐标系 第一次将代数和几何关联起来，建立的解析几何，开启了数学的分析时代 。牛顿和莱布尼兹 各自在 解析几何 之上 通过 无穷小量 建立的微积分 。
【哲学是否会终结,什么是命题函项】但，无穷小量 有时候是 零，有时候不是 零，这遭到了当时数学家的质疑，这就是第二次数学危机 。柯西等人创造了 极限 的概念，弥补了无穷小量 的缺陷， 第二次数学危机完美度过 。同时，莱布尼兹还在亚里士多德的基础上提出创造逻辑语言，以代替自然语言，解决自然语言表述不准确的缺陷 。时间进入18世纪，数学开始大爆发 。
数学家发现了欧几里得空间，从而 数学 从研究 一个个具体的点、函数，转而研究 所有点、函数 组成的 空间 。后来随着 空间的 研究 出现了 拓扑 。与数学在分析方向的 迅猛发展不同，无理数还没有完全解决，代数又在解一元高次方程上遇到了困难：数学家发现 5 次方程 就是找不到 求根公式 。天才数学家 伽罗瓦 敏锐的发现：求根公式是由 常数 和 运算 组成的，因此要研究清楚解方程问题，必须将 它们一切研究，于是开创了对 代数系统 的研究方向，从而最终完美的解决了该问题 。
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