魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动虽然一次性地解决了数学史两大危机，但是却也引发了第三次数学危机，这场数学危机持续至今，让整个数学大厦岌岌可危 。
在此次运动中，1873年11月29日康托尔在给戴德金的一封信中表示 ， 终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来 。同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来 。这一天应该看成是集合论的诞生日 。
简单的集合知识
康托尔创立的集合论可以说是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合 。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域 。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论 ， 包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念 。简单的集合知识我们在高中的时候就已经接触，大家可以简单回忆一下 。
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系开始：若o是A的元素，可表示为o∈A 。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系 。另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系 。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素 ， 则称集合A为B的子集，符号为A?B 。例如{1,2}
是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3}
的子集 。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集 。集合A为集合B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集，且集合B不是集合A的子集 。
数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算 。
而集合论中元素也有三大特性：确定性、互异性、无序性 。首先集合中的元素必须是确定的，例如{我们公司帅的男生}这就不是一个集合,因为帅的定义不同,有些人认为威猛是帅，有些人认为柔弱是帅，所以元素不确定；集合中的元素必须是互不相同的
，例如{5,6}是一个集合,但是不能表示为{5,6,5}，这就是互异性；{1,2,4}和{4,2,1}是同一个集合，这就是集合的无序性，因为集合中的元素是不存在顺序的 。
康托尔
【第三次数学危机是什么？】数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦 。因而集合论成为现代数学的基石 。
1900年国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……” 。这一发现使数学家们为之陶醉 。
可惜才过了 3 年，也就是 1903 年的时候，罗素却发现了集合论存在的问题 ， 罗素是西方罕见的文理兼修的全才，是著名的英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家 。他曾和哥廷根学派的领袖希尔伯特围绕数学的哲学基础问题引发了一场“数学是什么”的论战 。
罗素认为“数学即逻辑”，而希尔伯特则提出了形式主义的主张，主张数学思维的对象就是数学符号本身 。两个人涉及的论战就包含了集合论 。
罗素从集合元素的三大特性中发现了康托尔集合论中的一个BUG 。集合S是由一切不属于自身的集合所组成 。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合 。因此，对于一个给定集合 ， 问是否属于它自己是有意义的 。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地 。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义 ， s就属于S 。无论如何都是矛盾的 。
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