整个数学发展史一共诞生了三次数学史，可谓是环环相扣，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数，直接对一切数均可表成整数或整数之比的思想观念造成了冲击，在长达 2000 年的时间里，数学家都刻意回避无理数存在的事实 。
而牛顿在创造微积分的时候，则引发了第二次数学危机，牛顿对于导数的定义并不太严密，比如说
x2 的导数,先将 x 取一个不为0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,后再被 Δx
除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得导数为 2x
。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设Δx是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0 。那么到底是不是0呢？
除此之外，牛顿微积分把“无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计”的漏洞引发了一个这样的问题：就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾 。牛顿后来也未能自圆其说 。
两大数学危机的实质其实都是因为实数体系的不完善所导致的 。所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动 。
魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源 。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化 。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数) 。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补 。这就是所谓“分析算术化”纲领 。
在魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动的引领下，戴德金、康托尔包括魏尔斯特拉斯都提出了自己的实数理论 。
1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 ， 并把实数理论建立在严格的科学基础上 ， 他将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素 。集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A' 。戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割 ， 在这里面，戴德金从有理数扩展到实数，建立起无理数理论及连续性的纯算术的定义 。
戴德金分割定理推算过程
康托尔也通过有理数序列理论完成了同一目标，康托尔和戴德金都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合” 。戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法 。这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具 。
康托尔的有理数序列理论
维尔斯特拉斯发表了有界单调序列理论，有理数基本列是先假定实数的完备性，再根据有理数列的极限来定义有理数无理数 。有很多有理数列，他们自己是基本列 ， 但在有理数系内没有极限，所以有了定义：如果一基本列收敛到有理数时，则称它为有理基本列；如果一基本列不收敛到任何有理数或者收敛空了时 ， 则称它为无理基本列 。有理基本列定义的是有理数，无理基本列定义的是无理数 。
有界单调序列理论求证过程
实数的这三大派理论证明了实数系的完备性 。实数的定义及其完备性的确立标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成 。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除，实数体系的建立也标志着代数彻底摆脱几何的阴霾 。
因为实数体系的建立，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中 ， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基本建成 ， 然而这话却却最终惨遭打脸 。
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