左：欧式几何 右：罗氏几何
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何学 ， 简称罗氏几何学（Lobachevskian geometry） ， 也是我们最早发现的非欧几何学 。
罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方 ， 仅仅是把欧氏几何学平行公理“过直线外一点 ， 能并且只能作一条直线平行于已知直线”用“过直线外一点 ， 至少可以作两条直线和这条直线平行”来代替 ， 其他公理基本相同 。由于平行公理不同 ， 经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何学内容不同的新命题 。
机智的你可能已经发现 ， 上面这些命题和我们的直觉是矛盾的 。但是 ， 数学家们经过思考提出 ， 可以用我们习惯的办法作一个直观“模型”来证实它的正确性 。
拟球曲面
1868 年 ， 意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》 ， 证明非欧几何学可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现 。他发现这里三角形的三个内角之和小于180° ， 这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型 。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现了第五公设不能被证明 ， 同时也涉足了非欧几何学的研究 。但高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害 ， 不敢公开发表自己的研究成果 ， 只是在书信中向朋友表示了自己的看法 ， 并没有公开支持罗巴切夫斯基的新理论 。
黎曼几何学
那么既然我们能把第五公里改成“过一点 ， 有多条直线与已知直线平行” ， 是不是也可以改成“过一点 ， 没有直线与已知直线平行”呢？
于是 ， 有个叫黎曼的聪明人 ， 结合欧式几何的前四条公里加上“过一点 ， 没有直线与已知直线平行”创建了自己的几何——黎曼几何 。比如 ， 在一个球面上 ， 过直线外一点所画的直线一定与已知直线相交 。所以黎曼几何又称椭球几何 。
##可能会有人说地球仪上的纬线是平行的呀？！但是注意曲率展开后的纬线是弯的 ， 纬线上任意两点最短连线不是纬线本身 ， 当然赤道除外 。球面上的直线只有大圆 。##
在航海学上黎曼几何也得到了广泛应用 。地球本身就是曲面的 ， 如果使用欧式几何 ， 只会得到错误的结论 。
Credit：B站 肉兔君
近代黎曼几何学在广义相对论里得到了重要的应用 。物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何 。在广义相对论里 ， 爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念 ， 他认为时空是弯曲的 ， 这恰恰是和黎曼几何学的背景相似 。正因为如此爱因斯坦在看到了罗巴切夫斯基和黎曼的发现之后 ， 才会欣喜若狂 ， 他终于找到了一种可以解释相对论的数学工具了 。
数学的意义就在于 ， 它经常走在其他科学的前面 ， 我们通过数学的研究 ， 可以为其他科学提供很多帮助 。
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