如果有人问你：“三角形内角和等于多少？”你肯定会不假思索地告诉他：“180°！”
假如那个人说不是180° ， 那么你可能会认为他无知 。
其实 ， “三角形内角和等于180°”只是欧几里得几何学（Euclid Geometry）中的一个定理 。也就是说 ， 在欧几里得几何学里 ， 一个三角形的内角和等于 180° ， 但如果跳出欧几里得几何学的范围 ， 一个三角形的内角和就不一定等于 180°！
举个栗子 ， 地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形” ， 这个“三角形”的三个角都应该是 90° ， 它们的和就是270°！
你感到奇怪吗？你知道除了欧几里得几何（欧氏几何）学外 ， 还有其他几何学吗？这些几何学称为非欧（欧几里得）几何学 。
欧式几何
想要探索非欧几何 ， 先要了解欧式几何 。欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学 。有时单指平面上的几何 ， 即平面几何 。数学老师课堂上教授的就是欧式几何 。它有以下几条简单的公理：
1、任意两个点可以通过一条直线连接 。
2、任意线段能无限延长成一条直线 。
3、给定任意线段 ， 可以以其一个端点作为圆心 ， 该线段作为半径作一个圆 。
4、所有直角都全等 。
5、若两条直线都与第三条直线相交 ， 并且在同一边的内角之和小于两个直角和 ， 则这两条直线在这一边必定相交 。
这五条“显然”的公理是平面几何的基石 ， 我们也是仰仗这些公理干掉了一道道几何题目 。但机智的你有没有发现第五公设（平行公设）和前面的四个公设比较起来 ， 文字叙述冗长 ， 而且不那么显而易见 ， 有违数学的简洁美感呢?
在《几何原本》中 ， 证明前28个命题并没有用到这个公设 ， 这很自然引起人们考虑：这条啰哩八嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出 ， 也就是说 ， 平行公设可能是多余的 。
罗氏几何的诞生
因此 ， 一些数学家提出 ， 第五公设能不能不作为公设 ， 而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的 ， 争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论 。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决 ， 人们逐渐怀疑证明的路子走得不对 。第五公设到底能不能被证明？
到了十八世纪 ， 俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基（Lobachevsky）在证明第五公设的过程中走了另一条路 。罗巴切夫斯基的爸爸“老罗”也一生致力于研究第五公设的证明 ， 但并没有什么成果 ， 老罗曾告诫自己的儿子“小罗”：“你不要搞第五公理了 ， 我都研究一辈子了 ， 都没搞出来 ， 这简直是数学家的噩梦 。”
然而小罗并没有听从老爸的建议 。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题“过直线外一点 ， 至少可以作两条直线和已知直线不相交” ， 用它来代替第五公设 ， 然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统 ， 展开一系列的推理 。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾 ， 就等于证明了第五公设 。我们知道 ， 这其实就是数学中的反证法 。
罗氏几何符合双曲面模型
但是 ， 在他极为细致深入的推理过程中 ， 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思 ， 但在逻辑上毫无矛盾的命题 。最后 ， 罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
【三角形内角和一定是 180°吗 三角形的内角和是多少度】第一 ， 第五公设不能被证明 。
第二 ， 在新的公理系统里展开的一连串推理 ， 得到了一系列在逻辑上没有矛盾的新的定理 ， 并形成了新的理论体系 。这个理论体系像欧氏几何学的理论体系一样是完备的、严密的 。
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