三．面积与无理数
我们常用的求三角形面积的公式需要知道三角形的一个高，但是古希腊数学家海伦在他的《度量》一书中给出了一个只依赖于边长的公式：对于任意三角形，令三个边长分别为a,b和c,令s为三角形周长的一半 ， 即s=(a+b+c)/2，则三角形的面积为√s(s-a)(s-b)(s-c) 。显然，这个数经常为无理数 。
四．方程与无理数
古希腊代数的顶峰是在丢番图时代 ， 他的重要贡献之一就是在代数中引入了符号，甚至给出了相当现在的1/x和x的3次以上幂的形式，在当时这是极度抽象的符号，因为古代人认为2次幂是平方 ， 3次幂是立方，都是有具体的几何背景的，3次以上幂无具体的几何背景因而是无意义的 。丢番图知道一元二次方程式有两个根，但不知道如何处理这两个根，于是，两个根均为有理数时，他取较大的哪一个；根为无理数或者虚数时，他则认为这个方程是不可解的 。这样，毕达哥拉斯学派的发现在这里就是一个特例了，因为√2是方程x2-2=0的一个根 。
丢番图最感兴趣的问题是：方程的根是否是正整数 。他把许多重要的结果写在他的著作《算术》中，现在，人们称求方程整数解的问题为丢番图问题 。但是，丢番图绝对不会想到的是 ， 他的《算术》一书引发了一个著名的猜想，这就是费马大定理 。费马大定理与勾股定理关系密切，在勾股定理a2+b2=c2中，a,b和c这三个数有可能同时是整数 ， 比如a=3,b=4和c=5 。但是，费马猜想，平方的情况是特殊的，对于一般的等式an+bn=cn，当n≧3时将不存在使a,b和c同时为整数的解 。费马把这个问题写在《算术》这本书问题8的页边：
“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写出两个4次幂之和；或者，总地来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂之和”
问题是简洁的，证明却是困难的 。经历了3个世纪，经过几代数学家的努力 ， 这个问题于1993年被在普林斯顿任教的英国数学家怀尔斯解决，长达130页的论文发表于1995年 。
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