无理数的概念和定义无理数的概念 _无理数的概念

【无理数的概念和定义无理数的概念】无理数的发现，与不可公度线段有关，与面积计算有关，也与方程求解有关。虽然人们很早就发现了无理数，但是，在很长的一段时期内，人们无法对无理数作出一个合理的解释，也很难给出清晰的符号表达。事实上，实数理论的确立比微积分的出现还要晚。
人们总是习惯于从已有的概念出发，借助已有的概念来刻画新的事物，但是却遇到了“无理数”这样的难题。虽然人们很早就发现了无理数的存在，但是不能给出一个合理的解释，也很难给出清晰的符号表达，于是称这样的数为无理数，是一种没有道理的数。在这里，我们先来讨论人们是怎样发现无理数的，从中感悟无理数的本质特征。

一．边长与对角线的不可公度
毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线与边长是不可公度的，即不能表示为整数之间的比例关系，这个发现基于一个表述直角三角形三个边长之间关系的定理。在中国，这个定理被称为勾股定理，在西方，这个定理被称为毕达哥拉斯定理。这个定理的一般表述为：令一个直角三角形的两个直角边和一个斜边的边长分别为a,b和c，则有
a2+b2=c2
由定理可知，如果两个直角边长分别为a=1和b=1，则斜边长c=√2，但是√2不能表示为两个整数之比的形式。
假设√2能够表示为两个整数比的形式，即√2=a/b，其中a和b为整数且没有公因数。则a2=2b2，于是a2为偶数，因为只有偶数的平方才能为偶数（任何一个奇数可以表示为2n+1，由（2n+1）2=4n2+4n+1知，奇数的平方必为奇数），所有a为偶数。因为a和b没有公因数，a为偶数则b必为奇数。因为a为偶数，可设a=2c，其中 c为整数。则a2=4c2，于是有4c2=2b2即2c2=b2,则b2为偶数且b为偶数。b不可能又是奇数又是偶数，因此，假设不成立，也就是√2不能表示为两个整数比的形式。
因为古希腊人认为可以用整数或者整数的比来度量一切事物， √2是有有悖于这个理念的，因此是不可理解的，于是，古希腊的大部分学者放弃了对算术的研究而热衷于研究几何。

二．圆周率
人们很早就知道圆的周长为2πr，面积为πr2 ，其中r是圆的半径，π为圆周率。但是，计算π是非常困难的，人们希望用一个可公度数来近似得到π 。因为尼罗河的泛滥，为了调整泛滥后的土地，古埃及人掌握了土地面积测量与计算的技术，他们对于圆面积给出了很好的近似，《莱茵德纸草书》

第50题说，直径为9的圆形土地的面积等于边长为8的正方形土地的面积。如果用面积公式：82≈π*（9/2）2，可以得到π约等于16/9的平方，即256/81=3.1605，这是在公元前1700年左右得到的结果。当然，仅就这一点，我们还很难确定，当时的古埃及人是否已经建立了关于圆周率的概念。对于π的近似计算，古希腊物理学家，数学家阿基米德得到在22/7与223/71之间，祖冲之得到在22/7与355/113之间，其中22/7是计算圆内接正96边形的周长得到的，355/113被称为密律，也称祖律。