1、f(x)在x0及其左右近旁有定义 。2、f（x）在x0的极限存在 。3、f（x）在x0的极限值与函数值f(x0)相等 。函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小 。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的 。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线 。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续 。
法则：
定理一在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 。
定理二连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减） 。
定理三连续函数的复合函数是连续的 。
【连续的充要条件 函数在某点连续的充要条件】这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出 。
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