他想 ， 古代数学家用分割的方法去求圆面积 ， 所得到的结果都是近似值 。 为了提高近似程度 ， 他们不断地增加分割的次数 。 但是 ， 不管分割多少次 ， 几千几万次 ， 只要是有限次 ， 所求出来的总是圆面积的近似值 。 要想求出圆面积的精确值 ， 必须分割无穷多次 ， 把圆分成无穷多等分才行 。 开普勒也仿照切西瓜的方法 ， 把圆分割成许多小扇形；不同的是 ， 他一开始就把圆分成无穷多个小扇形 。 圆面积等于无穷多个小扇形面积的和 ， 所以 在最后一个式子中 ， 各段小弧相加就是圆的周长2πR ， 所以有 这就是我们所熟悉的圆面积公式 。 开普勒运用无穷分割法 ， 求出了许多图形的面积 。
1615年 ， 他将自己创造的这种求圆面积的新方法 ， 发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中 。 开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形 ， 并果敢地断言：无穷小的扇形面积 ， 和它对应的无穷小的三角形面积相等 。 他在前人求圆面积的基础上 ， 向前迈出了重要的一步 。 《葡萄酒桶的立体几何》一书 ， 很快在欧洲流传开了 。 数学家们高度评价开普勒的工作 ， 称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉 。 一种新的理论 ， 在开始的时候很难十全十美 。 开普勒创造的求圆面积的新方法 ， 引起了一些人的怀疑 。 他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形 ， 它的面积究竟等于不等于零？如果等于零 ， 半径OA和半径OB就必然重合 ， 小扇形OAB就不存在了；如果客观存在的面积不等于零 ， 小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等 。 开普勒把两者看作相等就不对了 。 面对别人提出的问题 ， 开普勒自己也解释不清 。 卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生 ， 他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题 。
卡瓦利里想 ， 开普勒把圆分成无穷多个小扇形 ， 这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积 ， 就不好确定了 。 但是 ， 只要小扇形还是图形 ， 它是可以再分的呀 。 开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去 ， 那分到什么程度为止呢？这些问题 ， 使卡瓦利里陷入了沉思之中 。 有一天 ， 当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时 ， 他忽然灵机一动：唉 ， 布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的 ， 要是把布拆开的话 ， 拆到棉线就为止了 。 我们要是把面积像布一样拆开 ， 拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止 。 几何学规定直线没有宽度 ， 把面积分到直线就应该不能再分了 。
于是 ， 他把不能再细分的东西叫做“不可分量” 。 棉线是布的不可分量 ， 直线是平面面积的不可分量 。 卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题 。 他想 ， 可以把长方体看成为一本书 ， 组成书的每一页纸 ， 应该是书的不可分量 。 这样 ， 平面就应该是长方体体积的不可分量 。 几何学规定平面是没有薄厚的 ， 这样也是有道理的 。 卡瓦利里紧紧抓住自己的想法 ， 反复琢磨 ， 提出了求圆面积和体积的新方法 。
1635年 ， 当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候 ， 意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》 。 在这本书中 ， 卡瓦利里把点、线、面 ， 分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和 ， 把平面看成是直线的总和 ， 把立体看成是平面的总和 。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出 ， 两本书的外形虽然不一样 ， 但是 ， 只要页数相同 ， 薄厚相同 ， 而且每一页的面积也相等 ， 那么 ， 这两本书的体积就应该相等 。 他认为这个道理 ， 适用于所有的立体 ， 并且用这个道理求出了很多立体的体积 。 这就是有名的“卡瓦利里原理 。 ” 事实上 ， 最先提出这个原理的 ， 是我国数学家祖 。 比卡瓦利里早1000多年 ， 所以我们叫它“祖 原理”或者“祖 定理” 。 在一个正方形里 ， 圆占正方形面积的78.5% 在一个圆里画一个最大的正方形 ， 正方形面积占圆形面积的157% 。
