正交变换前后两个矩阵一定相似 _正交

正交变换前后两个矩阵一定相似吗

正交变换前后两个矩阵一定相似。正交变换指存在正交矩阵P，使得P*P-1AP=B，所以A，B相似。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。
线性代数什么是正交变换为什么经过正交变换的矩阵A B是相似的不改变特征值特征向量欧几里得空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量内积不变,即对任意的α,β∈V,都有
(σ(α),σ(β))=(α,β)
正交变换也是相似变换,A经过正交变换P变为B,则有P-1AP=B,而且还是保距变换.
施密特正交化之后还是特征向量吗举个例子来说
矩阵
1, 1,
1, 2
对列向量进行正交化得到
第一列不变为(1,1)T，第二列=(1,2)T- 3/ 2 * (1,1)T = (-1/2,1/2)T
得到的矩阵
【正交变换前后两个矩阵一定相似】1, -1/2
1, 1/2
原矩阵特征多项式为(1-s)(2-s)-1 = 1 -3s +s^2
新矩阵特征多项式为(1-s)(1/2-s) +1/2 = 1 -3/2 s +s^2
显然两个矩阵特征多项式不等，矩阵不相似
特征值和正惯性指数的关系能确定行列式、迹相等；不能确定秩相等，不能确定A～B（相似），不能确定A合同于B 。
① 因为 |A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以 |A|=|B| ， tr(A)=tr(B) 。
② 有特征值 λ，不表示A可以～Λ 。
③ 若 A～Λ，可推出 r(A)=非0的 λ 个数。
④ 合同需要实对称矩阵（考研范围中），λ 相等并不能保证。
【反例】：此例中，r(A)≠r(B)，且都不可相似对角化，且都不是实对称矩阵（不可合同）。
实对称矩阵一定可以对角化，所以可得A、B相似于同一个对角阵，即 A～Λ～B 。
又因为实对称，所以逆＝转置，也合同。
不唯一。如果是求得的
那么，标准型结果也就不同。
标准型的项数是一定的，该项数就是非0系数，也就是正负惯性指数；正负惯性指数之和就是二次型的秩，也即。
注：如果A可以相似对角化，那么秩就是非零特征值的个数（正负惯性指数之和）。
。
可逆线性变换不改变正负惯性指数，经过变换得到的标准型，其对角线元素不一定是特征值！虽然二次型可以通过可逆线性变换（配方法），变成这样的对角阵，但是标准型有很多个，也就是有很多这样的对角阵；特征值是确定的，所以这些可逆线性变换得到的标准型，都不可以求出特征值。
特征值的求法：因为这些标准型与特征值无关，所以不能根据它们写特征多项式，而应该回到最初的二次型（实对称矩阵A），用特征方程做。
经典坑位：若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（）
正交变换就是在特征值的基础上做的，其结果得到的标准型，也就是特征值拼出的对角阵。诸多可逆线性变换中，只有正交变换得到的标准型，对角线元素，才是特征值。
确定什么？可以确定惯性指数相同，也即二次型平方项的系数正、负个数相等，或是正特征值、负特征值的个数相同。
不能确定什么？不能确定特征值。
，是因为惯性定理，决定了对于同一个二次型的不同标准型，正、负惯性指数p、q是一定的，而规范型是系数只有1、-1、0的情况。此时说唯一，是不考虑二次型的变量顺序的，比如可以都规定写的顺序是1，-1，0 。
同一个规范型可能有多个标准型。
同一个标准型，不可能对应多个规范型。因为标准型的惯性指数是确定的。
两个二次型（或者实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正负惯性指数，或有相同的秩及正（负）惯性指数
即规范型相同对应的不同矩阵是合同的。
（相似，合同条件要高）
相似必等价，等价未必相似。（矩阵相似是秩相等的充分非必要条件）
合同必等价，等价未必合同。（等价秩相同但未必是实对称矩阵）
（使用正交变换得到的相似或合同时，相似与合同一致）
经正交变换后，两矩阵相似，则必合同。
经正交变换后，两矩阵合同，则必相似。
一般矩阵不适用。但实对称矩阵，一定可以相似对角化，所以特征值相同时，A ~ B ，此时也合同
若相似，其特征值相同，所以p、q相同，必可以合同。
若合同，保证了正、负系数的个数相同，此时虽然可以相似对角化，但各自具体的特征值不一定相同，所以推不出A、B相似。
【例】对角矩阵2E合同于单位矩阵 E，而 E 只能和 E 相似，显然2E不相似于E（因为特征值不同）。
注：普通矩阵没有说相似一定合同，因为只在对称矩阵的时候，我们才讨论合同。
矩阵A可逆，它的秩为n，因为矩阵的秩与它是否有n个线性无关的特征向量是没有关系的，所以不一定可相似对角化
比如说一个三阶矩阵有三个不同的特征值2,1,0,则该矩阵一定可以对角化,有3个线性无关的特征向量,但它只有2个非零特征值,故对角矩阵的秩为2.而不是3
再比如一个三阶矩阵有三个不同的特征值2,1,3,则该矩阵一定可以对角化,必有3个线性无关的特征向量,它有3个非零特征值,它的秩为3
线性方程组Ax=0有n个线性无关的解向量，矩阵A列满秩,方程组唯一0解，要从线性方程组的角度取看是否可以相似对角化的问题

正交变换前后两个矩阵一定相似

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